Conceptos básicos

• FENÓMENO (EXPERIMENTO): Es todo aquel acto o acción que se realiza con el fin de observar sus resultados y cuantificarlos. Los fenómenos pueden clasificarse de acuerdo al tipo de resultados en:
• Determinístico: Es aquel cuyos resultados se pueden predecir de antemano. • Probabilístico (aleatorio) Es aquel en el que para las limitaciones actuales del conocimiento científico, no se puede predecir con certeza el resultado.
• Al conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio se le denomina ESPACIO DE EVENTOS (S).
• A cada posible resultado del espacio le llamaremos ELEMENTO.
• Un EVENTO en general es un conjunto de eventos simples (o posibles resultados del experimento). • Si el evento está compuesto por un único elemento le llamaremos EVENTO SIMPLE.
 • Si el evento no tiene ningún resultado posible se le denomina EVENTO VACÍO.
• Eventos mutuamente excluyentes: – Si se tienen dos o más eventos que pertenecen a S y al realizar el experimento solo puede ocurrir uno u otro, pero no simultáneamente.
 • Eventos colectivamente exhaustivos: Si la unión de los eventos es igual al especio de eventos.

• Eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos: Si se cumplen las dos condiciones anteriores

Regla de multiplicacion de probabilidades

1. Regla de multiplicación de probabilidades

Si se tienen varios eventos sucesivos e independientes entre sí, la probabilidad de que ocurran todos ellos a la vez corresponde a la multiplicación de las probabilidades de cada uno de los eventos.

Ejemplos:
1. Si se responden al azar cuatro preguntas con cinco opciones cada una, ¿cuál es la probabilidad de acertar a todas?

La probabilidad de acierto en cada una de las preguntas es 1/5. Por lo tanto, la probabilidad de acertar en las cuatro es:

 

2. Suponiendo que la probabilidad de tener un hijo o una hija es ½, ¿cuál es la probabilidad de que al tener tres hijos, 2 solamente sean varones?

Si H representa el nacimiento de un hombre y M el de una mujer, tenemos los siguientes casos favorables:    HHM – HMH – MHH 
La probabilidad de cada uno de estos eventos es: 

Teorema de Bayes

Este    teorema  es  una  generalización  de  la  probabilidad  Condicionada,  el  cual  esta  definido  de  la  siguiente  manera
Sean     A_1,  A_2, …….An,   sucesos  mutuamente  excluyentes    que  ocupan  todo  el  espacio  muestral S.  Si  cada  uno  de estos  sucesos  tiene  probabilidad  no  nula  y  uno  de ellos debe  ocurrir,  entonces  para   todo  suceso  B  en  el  espacio  muestral  S, es :

Esto sale de:

Ejemplo 1. : El   gerente  de  una  compañía   quiere  hacer  cada  semana   una  reunión  y  pedirle  a  sus  ejecutivos  un  informe .  El  sabe  que  a veces  se  le  olvida  ir  a  tal  reunión,  por  lo  que le  ha  dado  instrucciones  a  su   secretaria   que   se  haga  cargo  de  la   agenda  a   tratar.  Si  el  gerente  hace  la  reunión,  la  probabilidad  es  0.80  de  que  solicite  el  informe,  mientras  que  si  su  secretaria  hace  la  reunión, esta  probabilidad  es  de  sólo  0,15.  Si  el  gerente  falta al   60 %   de  las  reuniones. Suponiendo  que  se  les  pidió  el  informe  un  día determinado  ¿ Cuál  es  la  probabilidad  de  que  el  gerente haya  estado  presente  ?

Si  el  gerente  estuvo  presente,  es  lo  mismo  que  decir  que  no  faltó,  por   lo  tanto lo  que  nos  están  pidiendo  es :

Asi:

Por  lo  tanto,  la  probabilidad  de  que  el   gerente haya  estado  un  día  en  el  que  se  les  pidió  el  informe  a los  ejecutivos es   del  89 %  

Probabilidad condicionada

            Probabilidad   Condicionada:  Es   la    probabilidad  de  obtener    un   suceso,  dado   que  ya  ocurrió  otro.  Es  decir,   si  tenemos   los  sucesos  A  y  B que  pertenecen a  un  mismo  espacio  muestral  S ,  y   si   la  P (A)  es  diferente  de cero,  entonces esta  probabilidad  que  esta  designada  por :  

                                         

Para calcular esta  probabilidad  es  necesario   conocer   tanto  la  probabilidad  marginal  de  uno  de  los  sucesos ( P(A) )  como  la  probabilidad  de  la  intersección  de  ambos ( o  la  probabilidad  cuando  ocurran  los  dos  sucesos a  la  vez ). 

Ejemplo 3 : La  probabilidad  de  que  una  persona   tenga  una  cuenta   de  ahorros  es  de   0,65  y    la  probabilidad   de  que  invierta  en  un  CDT  y  ahorre  en  una  cuenta  de  ahorros es  de  0,30.  Se  seleccionó  una   persona al  azar   y   resultó  tener  una  cuenta   de  ahorros  ¿ Cuál  es    la  probabilidad  de  que  tenga  también  un  CDT ?

Sea  A =  tener  una  cuenta de  ahorros ,   B =  tener  un  CDT

                                                                                                           

Reglas de la probabilidad

Existen  tres  reglas  fundamentales  para  resolver  problemas  en  donde  se  desea  determinar  la  probabilidad  de  un  suceso   si  se  conocen  las  probabilidades  de  otros   sucesos   que  están  relacionados  con  él. Estas  dos  reglas  son :  Regla  de la  Adición , Probabilidad  Condicional  y   Regla de la Multiplicación  o Probabilidad  Conjunta .

Existe  otra  regla  muy  importante  que  es  El  Teorema  de  Bayes.

Regla de la Adición:  Esta  regla  expresa  la  probabilidad  de  que  ocurran   dos  o  más  sucesos  a  la  vez,   P ( A U B).

Puede  presentarse    de  dos  formas:  para  conjuntos   con  intersección  y   para   conjuntos   mutuamente  excluyentes.  Veamos:

Para   conjuntos  con  Intersección:

                                                

  Esto  se  debe  a  que  sumamos  la  probabilidad  de  A más  la  probabilidad de B , pero  como  ya  habíamos sumado la  intersección,  entonces  la  restamos.

Para   conjuntos  con  Mutuamente excluyentes:

                                                             

En este  caso,  no  hay  ningún  problema  en  sumar  ambas  probabilidades.

Ejemplo 1:  Se  lanzan  un   dado.  Usted  gana  $ 3000   pesos   si   el  resultado  es    par  ó   divisible  por  tres   ¿Cuál es  la  probabilidad  de  ganar ?

Lo  que  primero  hacemos   es  definir  los  sucesos :

Sea  A = resultado  par :  A = { 2, 4, 6 }

Sea  B = resultado   divisible por  3 : B = { 3, 6 }   .  Ambos  sucesos  tienen  intersección ?

                                                                                 

                                                         

Probabilidad simple

Cantidad de formas en que un resultado específico va a suceder

Probabilidad =  Cantidad total de posibles resultados

Ejemplo: Hay 87 canicas en una bolsa y 68 son verdes. Si se escoge una, ¿cuál es la probabilidad de que esta sea verde?

Solución:

Divide la cantidad de formas de elegir una canica verde (68) por la cantidad total de canicas (87)

68 ÷ 87 = 0.781609

Redondea a la precisión deseada (es decir 0.781609 redondeado a centésimos es 0.78)