Medidas de de tendencia central
La medidas de centralización nos indican en torno a qué valor
(centro) se distribuyen los datos.
(centro) se distribuyen los datos.
La medidas de centralización son:
Moda
La moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta.
Se representa por Mo.
Se puede hallar la moda para variables cualitativas y cuantitativas.
Hallar la moda de la distribución:
2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 Mo= 4
Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la
misma frecuencia y esa frecuencia es la máxima,
la distribución es bimodal o multimodal, es decir, tienevarias modas.
misma frecuencia y esa frecuencia es la máxima,
la distribución es bimodal o multimodal, es decir, tienevarias modas.
1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9Mo= 1, 5, 9
Cuando todas las puntuaciones de un grupo
tienen la misma frecuencia, no haymoda.
tienen la misma frecuencia, no haymoda.
2, 2, 3, 3, 6, 6, 9, 9
Si dos puntuaciones adyacentes tienen la frecuencia máxima,
la moda es el promedio de las dos puntuaciones adyacentes.
la moda es el promedio de las dos puntuaciones adyacentes.
0, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 8Mo = 4
Cálculo de la moda para datos agrupados
1º Todos los intervalos tienen la misma amplitud.
Li es el límite inferior de la clase modal.
fi es la frecuencia absoluta de la clase modal.
fi--1 es la frecuencia absoluta inmediatamente inferior a la en clase modal.
fi-+1 es la frecuencia absoluta inmediatamente posterior a la clase modal.
ai es la amplitud de la clase.
También se utiliza otra fórmula de la moda que da un valor
aproximado de ésta:
aproximado de ésta:
Ejemplo
Calcular la moda de una distribución estadística que viene
dada por la siguiente tabla:
dada por la siguiente tabla:
| fi | |
|---|---|
| [60, 63) | 5 |
| [63, 66) | 18 |
| [66, 69) | 42 |
| [69, 72) | 27 |
| [72, 75) | 8 |
| 100 |
2º Los intervalos tienen amplitudes distintas.
En primer lugar tenemos que hallar las alturas.
La clase modal es la que tiene mayor altura.
La fórmula de la moda aproximada cuando existen distintas amplitudes es:
Ejemplo
En la siguiente tabla se muestra las calificaciones
(suspenso, aprobado, notable y sobresaliente) obtenidas
por un grupo de 50 alumnos. Calcular la moda.
(suspenso, aprobado, notable y sobresaliente) obtenidas
por un grupo de 50 alumnos. Calcular la moda.
| fi | hi | |
|---|---|---|
| [0, 5) | 15 | 3 |
| [5, 7) | 20 | 10 |
| [7, 9) | 12 | 6 |
| [9, 10) | 3 | 3 |
| 50 |
Mediana
Es el valor que ocupa el lugar central de
todos los datos cuando éstos están ordenados de menor a mayor.
todos los datos cuando éstos están ordenados de menor a mayor.
La mediana se representa por Me.
La mediana se puede hallar sólo para variables cuantitativas.
Cálculo de la mediana
1 Ordenamos los datos de menor a mayor.
2 Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana
es la puntuación central de la misma.
es la puntuación central de la misma.
2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6Me= 5
3 Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana
es la media entre las dos puntuaciones centrales.
es la media entre las dos puntuaciones centrales.
7, 8, 9, 10, 11, 12Me= 9.5
Cálculo de la mediana para datos agrupados
La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia
acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas.
acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas.
Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre 
.
.
Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.
es la semisuma de las frecuencias absolutas.
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.
ai es la amplitud de la clase.
La mediana es independiente de las amplitudes de los intervalos.
Ejemplo
Calcular la mediana de una distribución estadística que
viene dada por la siguiente tabla:
viene dada por la siguiente tabla:
| fi | Fi | |
|---|---|---|
| [60, 63) | 5 | 5 |
| [63, 66) | 18 | 23 |
| [66, 69) | 42 | 65 |
| [69, 72) | 27 | 92 |
| [72, 75) | 8 | 100 |
| 100 |
100 / 2 = 50
Clase modal: [66, 69)
Media aritmética
La media aritmética es el valor obtenido al sumar
todos los datos y dividir el resultado entre el número total de datos.
todos los datos y dividir el resultado entre el número total de datos.
es el símbolo de la media aritmética.
Ejemplo
Los pesos de seis amigos son: 84, 91, 72, 68, 87 y 78 kg. Hallar el peso medio.
Media aritmética para datos agrupados
Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias,
la expresión de la mediaes:
la expresión de la mediaes:
Ejercicio de media aritmética
En un test realizado a un grupo de 42 personas se han
obtenido las puntuaciones que muestra la tabla. Calcula la puntuación media.
obtenido las puntuaciones que muestra la tabla. Calcula la puntuación media.
| xi | fi | xi · fi | |
|---|---|---|---|
| [10, 20) | 15 | 1 | 15 |
| [20, 30) | 25 | 8 | 200 |
| [30,40) | 35 | 10 | 350 |
| [40, 50) | 45 | 9 | 405 |
| [50, 60 | 55 | 8 | 440 |
| [60,70) | 65 | 4 | 260 |
| [70, 80) | 75 | 2 | 150 |
| 42 | 1 820 |
Propiedades de la media aritmética
1 La suma de las desviaciones de todas las
puntuaciones de una distribución respecto a la media de la misma igual a cero.
puntuaciones de una distribución respecto a la media de la misma igual a cero.
Las suma de las desviaciones de los números 8, 3, 5, 12, 10
de su media aritmética 7.6 es igual a 0:
de su media aritmética 7.6 es igual a 0:
8 − 7.6 + 3 − 7.6 + 5 − 7.6 + 12 − 7.6 + 10 − 7.6 =
= 0. 4 − 4.6 − 2.6 + 4. 4 + 2. 4 = 0
2 La media aritmética de los cuadrados de las desviaciones
de los valores de la variable con respecto a un número cualquiera se hace mínima cuando dicho númerocoincide con la media aritmética.
de los valores de la variable con respecto a un número cualquiera se hace mínima cuando dicho númerocoincide con la media aritmética.
3 Si a todos los valores de la variable se les suma un mismo número,
la media aritmética queda aumentada en dicho número.
la media aritmética queda aumentada en dicho número.
4 Si todos los valores de la variable se multiplican por un mismo
número lamedia aritmética queda multiplicada por dicho número.
número lamedia aritmética queda multiplicada por dicho número.
Observaciones sobre la media aritmética
1 La media se puede hallar sólo para variables cuantitativas.
2 La media es independiente de las amplitudes de los intervalos.
3 La media es muy sensible a las puntuaciones extremas.
Si tenemos una distribución con los siguientes pesos:
Si tenemos una distribución con los siguientes pesos:
65 kg, 69kg , 65 kg, 72 kg, 66 kg, 75 kg, 70 kg, 110 kg.
La media es igual a 74 kg, que es una medida de
centralización poco representativa de la distribución.
centralización poco representativa de la distribución.
4 La media no se puede calcular si hay un intervalo
con una amplitud indeterminada.
con una amplitud indeterminada.
| xi | fi | |
|---|---|---|
| [60, 63) | 61.5 | 5 |
| [63, 66) | 64.5 | 18 |
| [66, 69) | 67.5 | 42 |
| [69, 72) | 70.5 | 27 |
| [72, ∞ ) | 8 | |
| 100 |
En este caso no es posible hallar la media porque no
podemos calcular la marca de clase de último intervalo.
podemos calcular la marca de clase de último intervalo.
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