MEDIA ARITMETICA

La Media Aritmética para Datos Simples

X = X1/n (no están agrupados)
Ejemplo: Sea la serie X=1,4,5,7,8,10
X =35/6=5.83
8.1.3. La Media Aritmética para Datos Agrupados
Existen tres métodos para calcular la media aritmética en una serie de datos agrupados que son:
 El método largo: X=Fi*Xi
                                                   n


Clases	Fi		Xi	FiXi
8 a menos de 11	10		9.5	95.0
11 a menos de 14	8		12.5	100.0
14 a menos de 17	11		15.5	170.5
17 a menos de 20	9		18.5	166.5
20 a menos de 23	10		21.5	215.0
23 a menos de 26	4		24.5	98.0
26 a menos de 29	1		27.5	27.5
29 a menos de 32	7		30.5	213.5
Total		N=60		1086

X= 1086=18.10
         60
La interpretación de este cálculo es que estos estudiantes promedian una edad en conjunto de 18 años y 1 mes.


8.1.3.2. El método Abreviado en Unidades Originales
X = Ms + (d´fi/n)
Este método parte de la propiedad que dice que las desviaciones con relación a la media son iguales a cero. Lo primero que debe hacerse es elegir una medida supuesta (Ms), que no sea la media aritmética. Esto es un punto cualquiera de los puntos medios o marcas de clases. Como ejemplo, se elige como MS el punto 21.5.
Las desviaciones con relación a la media supuesta, las obtendrá restando cada punto medio o marca de clases menos la media supuesta. Esto es, 9.5-21.5=-12.
Edades de una población de 60 personas


Clases	Fi		Xi	FiXi	d´=(Xi-Ms)	d´fi
8 a menos de 11	10		9.5	95.0	-12	-120
11 a menos de 14	8		12.5	100.0	19	-72
14 a menos de 17	11		12.5	170.5	16	-66
17 a menos de 20	9		18.5	166.5	13	-27
20 a menos de 23	10		21.5	215.0	0	0
23 a menos de 26	4		24.5	98.0	3	+12
26 a menos de 29	1		27.5	27.5	6	+6
29 a menos de 32	7		30.5	213.5	9	+63
Total		N=60


 -285

              -204
 +81


X=21.5+(-204/60)=21.5+(-3.4)=18.10
8.1.3.3. Método Abreviado por Intervalos de Clases
Este método se parece bastante al anterior, diferenciándose en que aquí se hace uso del intervalo de la distribución. Cuando la distribución esta formada, el intervalo de la misma se obtiene restando dos límites superiores sucesivos o dos límites inferiores sucesivos.
Ejemplo:
a) 23-20=3
b) 11-8= 3
X= Ms+(d´fi/n)i


Clases	Fi	Xi	D´	d´fi
8 - 11	10	9.5	-1	-10
11- 14	8	12.5	0	+0
14 - 17	11	12.5	+1	+11
17 - 20	9	18.5	+2	+18
20 - 23	10	21.5	+3	+30
23 - 26	4	24.5	+4	+16
26 - 29	1	27.5	+5	+5
29 - 32	7	30.5	+6	+42
Total	N=60








Tenemos por ejemplo el punto medio 12.5, o sea (Ms9. Las desviaciones se obtendrán contando positivamente por debajo de la media supuesta y negativamente por encima. Luego multiplica las desviaciones por las frecuencias de clases, luego divide por el total de frecuencias (60) y lo que le dé lo multiplica por el intervalo de clases (3). Luego el resultado de este factor de corrección lo suma a la media supuesta elegida anteriormente, o sea, 12.5.

X =12.5+ (112/60)3
X =12.5+5.6 = 18.10


• La Mediana

Es una medida de posición dentro del conjunto de medidas de tendencia central, esto así, porque se calcula localizando un valor en la serie de datos. La mediana se comporta de tal manera que divide la serie de datos en partes dos iguales, de tal manera que la mitad son mayores que ella y la otra mitad son menores que ella.

• Propiedades


• Es influida o afectada por el número de valores que tenga la serie de datos.
• Su cálculo no tiene sentido para datos cualitativos.
• Se usa mucho su cálculo en distribuciones de frecuencias donde hallan clases abiertas.
• Las desviaciones absolutas que s realizan con ella son iguales a un mínimo.
• Es afectada por la posición de los valores en la serie de datos.
• Cálculo de la Mediana para Datos Simples

Me=Mediana
Se presentan dos casos:

• Que la serie de datos sea par.
Ejemplo: X=1,2,3,4,5,6,7,8.
Me= a la semisuma de los valores que dividen la serie en partes iguales o sea,
Me= 4+5=9=4.5

• 2
• Que la serie de datos sea impar.
Ejemplo: X=1,2,3,4,5.
Aquí la mediana se localiza de forma directa o sea, Me=3, es decir, el valor que divide la serie en dos partes iguales.

• Cálculo de la Mediana para Datos Agrupados

Fórmula
Me = Li + [(n/2 – Fa-i)/Fi]
Me =Mediana
Li =Límite inferior de la clase mediana
n/2 = Punto que sirve para localizar la clase mediana.
Fa – 1= Total de Frecuencias acumuladas antes de la clase mediana.
Fi= Frecuencia simple de la clase mediana
I= Intervalo de clase de la distribución.

Calculemos la mediana con estos datos: n/2= 30/2=15. Este punto o valor se ubica en la columna de frecuencias acumuladas. En algunos casos este punto es igual a un valor acumulado, en otro caso, usted elegirá el valor acumulado que excede al punto n/2. Como se puede observar de acuerdo al punto n/2=15 la clase mediana será (8-10), tomará de esta clase los datos que le interesan para completar la fórmula.


Clases	Fi	Fa
2-4	2	2
4-6	3	2
6-8	5	10
8-10	8	18
10-12	6	24
12-14	4	28
14-16	2	30
Total	N=30

Me= 8 + [(30/2 – 10)/8]2                 
Me= 8 + [(15-10)/8]2
Me= 8 + (5/8)2
Me= 8 + (0.625) 2
Me= 8+ 1.25 = 9.25

• La Moda

Es el valor que más se repite en una serie de datos. Al igual que la media aritmética y la median es un buen indicador para describir y resumir una serie de datos.

• Propiedades


• En una serie de datos monomodal no agrupados, la moda será siempre un valor de la serie.
• En una serie discreta cualquier valor puede ser moda excepto que el número de apariciones no excede a otro valor adyacente.
• Es un valor hasta cierto punto inestable, pues cambia radicalmente si no se modifica el método de redondeo de datos.
• La Moda para Datos Simples

Mo = Moda
Ejemplo: X = 2, 3, 4, 5, 5, 6,7. (Pesos en libras de un grupo de niños que acaba de nacer). La moda es el 5, ya que es el valor que más se repite.

• La Moda para Datos Agrupados

Mo=Li+[Δ1/Δ1+Δ2]i
Li= Límite inferior de clase.
Δ1= Frecuencia simple premodal menos la frecuencia modal (no se toma en cuenta el signo).
Δ2= Frecuencia simple de la clase modal menos la frecuencia simple posmodal.
i= Intervalo de clase.


Clases	Fi
70-75	8
75-80	12
80-85	15
85-90	18
90-95	10
95-100	6
100-105	6
Total	N=75

La clase modal se obtiene escogiendo aquella que tenga la frecuencia simple más alta.
Δ1=15-18, o sea, la frecuencia premodal menos la modal (sin tomar en cuenta los signos).
Δ2=(-3), o sea, 3.
Δ2=18-10, o sea, la frecuencia modal menos la posmodal, es decir, 18-10=8.
Mo= 85+ [(3)/ (3+8)]5 = 85+ (3/10)5= 86.36
Imaginando que estos datos muestran lo que gana cada uno de esos muchachos que están en los semáforos diariamente, se determina que ganan diariamente una cantidad que fluctúa entre los 85-90 pesos.