Distribución Normal

La distribución de probabilidad conocida como distribución normal es, por la cantidad de  fenómenos que explica, la más importante de las distribuciones estadísticas.

A la distribución normal también se la denomina con el nombre de campana de Gauss, pues al  representar su función de probabilidad, ésta tiene forma de campana.

En el math-block sobre la distribución binomial se introduce el concepto de variable aleatoria,  distinguiendo además dos tipos de variables, las discretas y las continuas. En este apartado  seguimos con el estudio de distribuciones de probabilidad analizando la distribución de  probabilidad continua más importante, la distribución normal.

A continuación veremos las características principales de una distribución de probabilidad normal,  definiendo posteriormente la distribución normal estándar así como sus usos.

La Normal es la distribución de probabilidad más importante. Multitud de variables aleatorias  continuas siguen una distribución normal o aproximadamente normal.

Una de sus características más importantes es que casi cualquier distribución de  probabilidad, tanto discreta como continua, se puede aproximar por una normal bajo ciertas  condiciones.

La distribución de probabilidad normal y la curva normal que la representa, tienen las  siguientes características:

• La curva normal tiene forma de campana y un solo pico en el centro de la  distribución. De esta manera, la media aritmética, la mediana y la moda de la distribución son iguales y se localizan en el pico. Así, la mitad del área bajo la curva se encuentra a la derecha de este punto central y la otra mitad está a la izquierda de dicho punto.

La distribución de probabilidad normal es simétrica alrededor de su media.

• La curva normal desciende suavemente en ambas direcciones a partir del valor  central. Es asintótica, lo que quiere decir que la curva se acerca cada vez más al eje

X pero jamás llega a tocarlo. Es decir, las “colas” de la curva se extienden de manera  indefinida en ambas direcciones.

‰ La distribución normal estándar:

Se observó que no existe una sola distribución de probabilidad normal, sino una “familia” de  ellas. Como sabemos, cada una de las distribuciones puede tener una media (µ) o una  desviación estándar distinta (σ). Por tanto, el número de distribuciones normales es ilimitado y  sería imposible proporcionar una tabla de probabilidades para cada combinación de µ y σ.

Para resolver este problema, se utiliza un solo “miembro” de la familia de distribuciones normales, aquella cuya media es 0 y desviación estándar 1 que es la que se conoce como distribución estándar normal, de forma que todas las distribuciones normales pueden convertirse a la estándar, restando la media de cada observación y dividiendo por la desviación estándar.

Primero, convertiremos la distribución real en una distribución normal estándar utilizando un  valor llamado Z, o estadístico Z que será la distancia entre un valor seleccionado, designado

X, y la media µ, dividida por la desviación estándar σ

Formalmente, si X ∼ N(µ,σ) , entonces la v.a.   σ−µ = X Z se distribuye según una normal de media 0 y desviación estándar 1, i.e.: Z ∼ N(0,1) , que es la distribución llamada normal estándar o tipificada.

De esta manera, un valor Z mide la distancia entre un valor especificado de X y la media  aritmética, en las unidades de la desviación estándar. Al determinar el valor Z utilizando la  expresión anterior, es posible encontrar el área de probabilidad bajo cualquier curva normal  haciendo referencia a la distribución normal estándar en las tablas correspondientes.

Así pues, para averiguar el área anterior utilizaremos la tabla que encontraremos al final de  este apartado. Dicha tabla nos proporciona la probabilidad de que la v.a. normal estándar Z  tome un valor situado a la izquierda de un número c, i.e.: P(Z<c). En otras palabras, esta  tabla nos da el valor del área encerrada por f(x) entre -∞ y c.